Método adaptativo de optimización de disparo múltiple, para la determinación de trayectorias óptimas de naves espaciales.

Método para la determinación de una trayectoria para una transferencia de una nave espacial desde un cuerpo espacial de partida hasta un cuerpo espacial objetivo,

respecto a un cuerpo espacial central dado, donde la trayectoria determinada es óptima respecto a un requerimiento dado de una misión espacial que debe ser cumplido por la transferencia de la nave espacial; donde el método incluye:

* suministro, de acuerdo con el principio máximo de Pontryagin, de un modelo físico-matemático que relaciona cantidades del modelo y cantidades físicas que representan la transferencia de la nave espacial respecto al cuerpo espacial central dado, donde las cantidades del modelo incluyen una primera cantidad vector del modelo (λv) y una segunda cantidad vector del modelo (λr), donde la primera cantidad vector del modelo (λv) tiene un primer módulo que cambia a lo largo del tiempo y una primera orientación espacial que cambia a lo largo del tiempo y está definida por un primer ángulo de longitud (Φv) que cambia a lo largo del tiempo y por un primer ángulo de elevación (ϑ v) que cambia a lo largo del tiempo, donde la primera cantidad vector del modelo (λv) representa, momento a momento, una dirección óptima respectiva de impulso de la nave espacial respecto al requerimiento dado de la misión espacial, donde la segunda cantidad vector del modelo (λr) tiene un segundo módulo que cambia lo largo del tiempo y una segunda orientación espacial que cambia a lo largo del tiempo, y está definida por un segundo ángulo de longitud (ϑ r) que cambia a lo largo del tiempo y por un segundo ángulo de elevación (ϑ r) que cambia a lo largo del tiempo, donde la segunda cantidad vector del modelo (¡λr) representa, momento a momento, una evolución a lo largo del tiempo de la primera cantidad vector del modelo (λv);

* ajuste, en el modelo físico-matemático, de las condiciones de frontera iniciales y finales, donde las condiciones iniciales de frontera son tales que en un momento inicial (t0) de la transferencia, la posición (r) y velocidad (V) de la nave espacial son cercanas a la posición (rtierra) y velocidad (Vtierra), respectivamente, del cuerpo espacial de partida, donde las condiciones finales de frontera son tales que, en un tiempo final (tf) de la transferencia, la posición (r) y velocidad (V) de

la nave espacial son cercanas a la posición (rmarte) y velocidad (Vmarte), respectivamente, del cuerpo espacial objetivo; * ajuste, en el modelo físico-matemático, de las primeras condiciones tal que el segundo módulo está relacionado con el primer módulo a través de una cantidad relacionada con la velocidad angular, que depende del cuerpo espacial central dado;

* ajuste, en el modelo físico-matemático, de las segundas condiciones tal que un ángulo específico de longitud, entre el primer ángulo de longitud (Φ v) y el segundo ángulo de longitud (Φ r), y un ángulo específico de elevación, entre el primer ángulo de elevación (ϑ v) y el segundo ángulo de elevación (ϑ r), son independientes unos de otros;

* consideración de los primeros tiempos iniciales (t0) incluidos en un rango dado el tiempo, los primeros valores de longitud del ángulo específico de longitud incluidos en un rango dado de longitud, y los primeros valores de elevación del ángulo específico de elevación incluido en un rango dado de elevación; y

* determinación de una trayectoria para la transferencia de la nave espacial con base en el modelo físico-matemático, de los primeros tiempos iniciales (t0) considerados, de los primeros valores de longitud considerados y de los primeros valores de elevación considerados.

Método adaptativo de optimización de disparo múltiple, para la determinación de trayectorias óptimas de naves espaciales

CAMPO TÉCNICO DE LA INVENCIÓN

La presente Invención se relaciona con la determinación de trayectorias de transferencia óptima de naves espaciales, y puede ser explotada para resolver un amplio rango de problemas que involucran la optimización de trayectorias de transferencia de naves espaciales, tales como vehículos espaciales, cohetes, transbordadores espaciales, etc.

En más detalle, la presente invención permite determinar una trayectoria de transferencia óptima en un rango dado de tiempo, trayectoria de transferencia óptima que permite, en general, satisfacer un requerimiento dado de misión espacial, y, en particular, minimizar el tiempo de transferencia, el consumo de agente propelente o una combinación de los dos.

TÉCNICA SUBYACENTE

Como se sabe, la determinación de la mejor trayectoria de una nave espacial para una misión dada está definida en la literatura como el "problema de frontera de dos puntos", y consiste en una determinación de una trayectoria, entre todas las posibles, que conecta dos puntos diferentes en el espacio (que representan las condiciones de frontera) y permitiendo maxlmizar o minimizar una función dada de costo (también llamada índice de costo). Las ecuaciones de movimiento son restricciones diferenciales del problema.

Se sabe que varios métodos de optimización son útiles para resolver problemas de optimización relacionados con transferencias espaciales, los cuales caen esencialmente dentro de dos categorías principales:

* métodos clásicos, indirectos basados en el principio máximo de Pontryagin; y

* métodos directos que intentan encontrar el mínimo de la función de costo a través de muchos procedimientos numéricos y pueden ser además agrupados entre

- métodos directos aplicados al cálculo de variación, y

-técnicas de búsqueda.

También se emplean algoritmos genéticos para resolver problemas relacionados con transferencias interplanetarias. Abajo se da una breve descripción de los métodos conocidos listados previamente.

El principio máximo de Pontryagin es un teorema básico en el cálculo de variación aplicado a la teoría de control óptimo: él da algunas condiciones necesarias para determinar una solución óptima al problema que está bajo análisis, y se basa solamente en propiedades diferenciales que exhiben ciertas clases de fundones, en puntos extremos. De acuerdo con tales condiciones, es posible determinar una evolución en el tiempo de algunos parámetros, los denominados multiplicadores de Lagrange, usados para evaluar las variables de control necesarias para resolver el problema óptimo. Los valores ¡nidales de los multiplicadores de Lagrange son desconocidos, y ellos tienen que ser evaluados numéricamente de modo que se satisfagan las condiciones de frontera. En otras palabras, la optimización del problema es transferida completamente a la determinación de los valores ¡nidales de los multiplicadores de Lagrange. El problema se vuelve aún más complejo cuando el estado final no está completamente determinado, esto es, algunas variables del vector de estado no están asignadas a las condiciones de frontera. Aparte de las condiciones dadas por el principio máximo de Pontryagin, tienen que considerarse restricciones adicionales definidas como "condiciones de transversalldad".

En detalle, los métodos Indirectos, a través de las condiciones establecidas por el principio máximo de Pontryagin, permiten determinar en el tiempo de ejecución, cuál es la mejor forma de emplear las variables de control, para resolver el problema de optimización, pero tales variables son desconocidas en el comienzo, como se muestra abajo.

Sea

un sistema de ecuación diferencial parcial de primer orden, en el cual x es el vector de estado y u es el denominado vector de control, esto es el vector que va a ser determinado en el tiempo de ejecución, para minimizar o maximizar una función dada de costo J. Recordando la formulación del problema de Bolza, la función de costo puede tener la forma:

J =j* L(x, u, tjdt + r/tj, u(tf)]

Asumamos, por ejemplo, que la función de costo J tiene que ser minimizada. Esto conduce a la siguiente condición:

J

J

Sea también H(x,u,A,t) la función Hamlltonlana asociada con el sistema, escrita en la forma:

Notar que si otra funcional dada I, definida como

f =j* M(x, u, t)dt + x(t,), u(t,)]

tiene que ser maxlmlzada, las fórmulas previas se convertirían en:

Z* = supZ

("a?)

y

donde A es el vector de los multiplicadores de Lagrange (el cual es definido también como el vector de co-estado o el vector variable adjunto). El principio máximo de Pontryagln establece que si x(t),A(t) satisface las condiciones:

X = ---

JA

áx

y para todo teLtoltfJ

entonces u* es el control óptimo deseado que maxlmlza la función Hamlltonlana H.

Aparte del principio máximo de Pontryagin, si el vector de estado no está completamente determinado en las fronteras, deben añadirse condiciones adicionales denominadas "condiciones de transversalidad". El número de estas restricciones adicionales ¡guala la cantidad de entradas en el vector de estado que no están determinadas. Por ejemplo, si el tiempo final no está establecido, la condición correspondiente de transversalidad será:

",=i

s¡ se considera el problema de tiempo mínimo de transferencia, o:

=0

si está bajo análisis el problema del consumo mínimo de agente propelente.

10 El número y la expresión de las condiciones de transversalidad cambia de acuerdo con el problema dado, que está bajo análisis.

Apliquemos la formulación general relacionada con el problema de dos puntos, en el caso de las transferencias Interplaneterias, por ejemplo, consideremos una transferencia Tierra -Marte. Bajo la hipótesis de una transferencia co- 15 planar (todas las órbitas de los cuerpos mayores del sistema solar tienen una pequeña Inclinación respecto al plano eclíptico), y considerando un marco de referencia ¡nercial xOy con el origen O coincidente con el centro de masa del Sol, las ecuaciones de movimiento pueden ser escritas como sigue:

dx

dt

c(y

dt

du

dt

dv

dt

dm

dt

x + 5 v.

y + <5-v.

donde {x,y,u,v,m} es el vector de estado (x,y son los componentes del vector de posición mientras u,v son los del vector de velocidad; m es la masa real de la nave espacial), p es el parámetro gravltacional del Sol, 7" es un nivel de impulso que puede ser alcanzado con un sistema de propulsión dado (maniobra continua) y 5 es una función activo-inactivo que representa el estado del sistema de propulsión (5= 0, la máquina está Inactiva; 5=1 la máquina está activa). (Vx,Vy) es el 25 vector unitario que indica la dirección de Impulso. Dado un tiempo de salida hacia y un tiempo de llegada tf de la nave espacial, sea también la función

j = t^ -t. =

*3

30 que tiene que ser minimizada (es decir, el tiempo de transferencia de ser minimizado); la correspondiente función Hamiltoniana asumirá la forma:

# - ^,U + áyV + ^

^ x r

------x + <S - V,

k + y^

+ ^

^ e r

-^y + g-v,

35 o en una forma más útil:

en la cual {Ax, Ay, Au, Av, Am} es el vector multiplicador de Lagrange (vector de co-estado). Apliquemos el principio máximo de Pontryagin. El control es óptimo si y sólo si:

y

La primera condición establece que el vector de dirección de impulso {vx,vy} tiene que estar alineado con el vector {Au,Av}, mientras la segunda condición da una indicación de si es conveniente activar el propulsor o no. En cuanto a las derivadas de co-estado, el principio máximo de Pontryagin establece que:

Si se respetan todas estas condiciones, el principio máximo de Pontryagin es satisfecho completamente, y la dirección óptima de impulso está dada analíticamente a través de las variables de co-estado Au,Av. El principal problema que afecta esta aproximación es que los valores iniciales {Ax, Ay, Au, Av, Am} son desconocidos y no pueden ser estimados mediante consideración física; sólo es posible suponer el orden de magnitud de cada término, mirando la derivada correspondiente. Con mucho, existe un número limitado de vectores óptimos {A^o, Ay,o, Au,o, Ayo, Amo}, que tienen que ser

investigados en (como en si la hipótesis de transferencias coplanares falla)... [Seguir leyendo]

1. Método para la determinación de una trayectoria para una transferencia de una nave espacial desde un cuerpo espacial de partida hasta un cuerpo espacial objetivo, respecto a un cuerpo espacial central dado, donde la trayectoria determinada es óptima respecto a un requerimiento dado de una misión espacial que debe ser cumplido por la transferencia de la nave espacial; donde el método Incluye:

- suministro, de acuerdo con el principio máximo de Pontryagln, de un modelo físico-matemático que relaciona cantidades del modelo y cantidades físicas que representan la transferencia de la nave espacial respecto al cuerpo espacial central dado, donde las cantidades del modelo Incluyen una primera cantidad vector del modelo (Ay) y una segunda cantidad vector del modelo (Ar), donde la primera cantidad vector del modelo (Av) tiene un primer módulo que cambia a lo largo del tiempo y una primera orientación espacial que cambia a lo largo del tiempo y está definida por un primer ángulo de longitud (3\) que cambia a lo largo del tiempo y por un primer ángulo de elevación (fiy) que cambia a lo largo del tiempo, donde la primera cantidad vector del modelo (Ay) representa, momento a momento, una dirección óptima respectiva de Impulso de la nave espacial respecto al requerimiento dado de la misión espacial, donde la segunda cantidad vector del modelo (Ar) tiene un segundo módulo que cambia lo largo del tiempo y una segunda orientación espacial que cambia a lo largo del tiempo, y está definida por un segundo ángulo de longitud (4) r) que cambia a lo largo del tiempo y por un segundo ángulo de elevación (3r) que cambia a lo largo del tiempo, donde la segunda cantidad vector del modelo (Ar) representa, momento a momento, una evolución a lo largo del tiempo de la primera cantidad vector del modelo (Ay);

- ajuste, en el modelo fislco-matemátlco, de las condiciones de frontera iniciales y finales, donde las condiciones iniciales de frontera son tales que en un momento Inicial (to) de la transferencia, la posición (r) y velocidad (V) de la nave espacial son cercanas a la posición (rt¡erra) y velocidad (Vt¡erra), respectivamente, del cuerpo espacial de partida, donde las condiciones finales de frontera son tales que, en un tiempo final (tf) de la transferencia, la posición (r) y velocidad (V) de la nave espacial son cercanas a la posición (rmarte) y velocidad (Vmarte), respectivamente, del cuerpo espacial objetivo;

- ajuste, en el modelo físico-matemático, de las primeras condiciones tal que el segundo módulo está relacionado con el primer módulo a través de una cantidad relacionada con la velocidad angular, que depende del cuerpo espacial central

dado;

- ajuste, en el modelo físico-matemático, de las segundas condiciones tal que un ángulo específico de longitud, entre el primer ángulo de longitud (<t> y) y el segundo ángulo de longitud (0 r), y un ángulo específico de elevación, entre el primer ángulo de elevación (f)y) y el segundo ángulo de elevación (tir), son Independientes unos de otros;

- consideración de los primeros tiempos Iniciales (to) Incluidos en un rango dado el tiempo, los primeros valores de longitud del ángulo específico de longitud Incluidos en un rango dado de longitud, y los primeros valores de elevación del ángulo específico de elevación Incluido en un rango dado de elevación; y

- determinación de una trayectoria para la transferencia de la nave espacial con base en el modelo físico-matemático, de los primeros tiempos Iniciales (to) considerados, de los primeros valores de longitud considerados y de los primeros valores de elevación considerados.

2. El método de la reivindicación 1, en donde la determinación de una trayectoria para la transferencia de la nave espacial, basada en el modelo físico-matemático, de los primeros tiempos Iniciales (to) considerados, de los primeros valores de longitud considerados, y de los primeros valores de elevación considerados, Incluye:

- la computación de valores de una función de costo fJ) dada, relacionados con el requerimiento dado de la misión espacial, donde los valores de la función de costo (J) dada son computados con base en los primeros tiempos Iniciales considerados, en los primeros valores de longitud considerados y en los primeros valores de elevación considerados;

- la determinación de una función de costo aproximada con base en los valores computados de la función de costo ("J) dada;

- computación de valores de la función de costo aproximada basada en los primeros tiempos Iniciales (to) considerados, en los primeros valores de longitud considerados y en los primeros valores de elevación considerados;

- Identificación, entre los valores computados de la función aproximada de costo, de un valor extremo de la función aproximada de costo, y, entre los primeros valores Iniciales (to) considerados, entre los primeros valores de longitud considerados, y entre los primeros valores de elevación considerados, de un tiempo Inicial óptimo (to), un valor óptimo de

longitud, y un valor óptimo de elevación, respectivamente, en los cuales se ha basado la computación del valor extremo de la función aproximada de costo; y

- determinación de una trayectoria para la transferencia de la nave espacial sobre la base del modelo físico-matemático, del tiempo óptimo Inicial Identificado (to), del valor óptimo de longitud Identificado, y del valor óptimo de elevación Identificado.

3. El método de la reivindicación 2, en donde el valor óptimo de longitud Identificado es, en el modelo físico-matemático, el valor del ángulo específico de longitud al tiempo Inicial óptimo Identificado (tb), y en donde el valor óptimo de elevación Identificado es, en el modelo físico-matemático, el valor del ángulo específico de elevación al tiempo inicial óptimo Identificado (to).

4. El método de acuerdo con las reivindicaciones 2 o 3, en donde el modelo físico-matemático está basado en multiplicadores de Lagrange.

5. El método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones 2-4, en donde la determinación de una trayectoria para la transferencia de la nave espacial, sobre la base del modelo físico-matemático, de los primeros tiempos ¡nidales (to) considerados, de los primeros valores de longitud considerados, y de los primeros valores de elevación considerados, Incluye además:

- Identificación, entre los valores computados de la función de costo dada ('J), de un valor extremo de la fundón de costo dada (J), y, entre los primeros valores ¡nidales (to) considerados, entre los primeros valores de longitud considerados, y entre los primeros valores de elevación considerados, de un tiempo ¡nidal óptimo intermedio (to), un valor de longitud óptimo Intermedio, y un valor de elevación óptimo Intermedio, respectivamente, con base en los cuales se ha computado el valor extremo de la fundón dada de costo (J).

6. El método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones 2-5 precedentes, que incluye además:

- si la trayectoria determinada con base en el modelo físico-matemático, en los primeros tiempos ¡nidales (to) considerados, en los primeros valores de longitud considerados, y en los primeros valores de elevación considerados, no satisface las condiciones de frontera inicial y las condiciones de frontera final con una tolerancia preestablecida,

- selección de un sub-rango de tiempo con base en el rango de tiempo dado y del tiempo inicial óptimo Identificado (tb),

- selección de un sub-rango de longitud con base en el rango dado de longitud y en el valor óptimo de longitud Identificado,

- selección de un sub-rango de elevación con base en el rango de elevación dado y en el valor óptimo de elevación identificado,

- consideración de segundos tiempos iniciales (to) incluidos en el sub-rango seleccionado de tiempo, segundos valores de longitud del ángulo específico de longitud incluidos en el sub-rango de longitud seleccionado, y segundos valores de elevación del ángulo específico de elevación incluidos en el sub-rango seleccionado de elevación,

- determinación de la trayectoria para la transferencia de la nave espacial con base en el modelo fisicomatemático, en los segundos tiempos iniciales (to) considerados, en los segundos valores de longitud considerados, y en los segundos valores de elevación considerados;

selección de un sub-rango de tiempo con base en el rango de tiempo dado y del tiempo óptimo inicial Identificado (to) que incluye:

- selección de un sub-rango de tiempo que está incluido en el rango dado de tiempo, tiene una extensión más pequeña que una extensión del rango dado el tiempo, y está centrado en el tiempo óptimo inicial identificado

(te);

selección de un sub-rango de longitud con base en el rango de longitud dado y del valor óptimo de longitud Identificado, que incluye:

- selección de un sub-rango de longitud que está Incluido en el rango de longitud dado, tiene una extensión más pequeña que una extensión del rango de longitud dado, y está centrado en el valor óptimo de longitud Identificado;

selección de un sub-rango de elevación con base en el rango de elevación dado, y del valor óptimo de elevación Identificado, que Incluye

- selección de un sub-rango de elevación que está Incluido en el rango de elevación dado, tiene una extensión más pequeña que una extensión del rango de elevación dado, y está centrado en el valor óptimo de elevación Identificado.

7. El método de la reivindicación 6, en donde los primeros valores Iniciales de tiempo (tb) considerados están distribuidos de manera uniforme en el rango dado de tiempo, mientras que la mayoría de los segundos tiempos Iniciales (to) considerados están concentrados en el sub-rango seleccionado de tiempo, alrededor del tiempo Inicial óptimo Identificado (to); donde los primeros valores de longitud considerados están distribuidos de manera uniforme en el rango dado de longitud, mientras la mayoría de los segundos valores de longitud considerados están concentrados en el sub- rango seleccionado de longitud, alrededor del valor óptimo de longitud Identificado; donde los primeros valores de elevación considerados están distribuidos de manera uniforme en el rango dado de elevación, mientras que la mayoría de los segundos valores de elevación considerados están concentrados en el sub-rango de elevación seleccionado, alrededor del valor óptimo de elevación Identificado.

8. El método de la reivindicación 7, en donde los segundos tiempos Iniciales (to) considerados están distribuidos en el sub-rango de tiempo seleccionado de acuerdo con una primera distribución parabólica, en donde los segundos valores de longitud considerados están distribuidos en el sub-rango seleccionado de longitud de acuerdo con una segunda distribución parabólica, y en donde los segundos valores de elevación considerados están distribuidos en el sub-rango de elevación seleccionado, de acuerdo con una tercera distribución parabólica.

9. El método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones 6-8, que Incluye además:

* si la trayectoria, determinada con base en el modelo físico-matemático, en los segundos tiempos iniciales (to) considerados, en los segundos valores de longitud considerados, y en los segundos valores de elevación considerados, no satisface las condiciones de frontera ¡nidal y las condiciones de frontera final con la tolerancia preestablecida, repetición de

- selección de un nuevo sub-rango de tiempo con base en un sub-rango de tiempo previamente seleccionado y de un tiempo inicial óptimo previamente identificado (to),

- selección de un nuevo sub-rango de longitud con base en un sub-rango de longitud previamente seleccionado y en un valor óptimo de longitud previamente identificado,

- selección de un nuevo sub-rango de elevación con base en sub-rango de elevación previamente seleccionado y en un valor óptimo de elevación previamente identificado,

- consideración de nuevos tiempos ¡nidales (to) incluidos en el nuevo sub-rango de tiempo seleccionado, nuevos valores de longitud del ángulo específico de longitud incluidos en el nuevo sub-rango de longitud seleccionado, y nuevos valores de elevación del ángulo específico de elevación incluidos en el nuevo sub-rango de elevación seleccionado, y

- determinación de la trayectoria para la transferencia de la nave espacial, con base en el modelo fisicomatemático, en los nuevos tiempos Iniciales (to) considerados, en los nuevos valores de longitud considerados, y en los nuevos valores de elevación considerados;

y

* suspensión de la repetición si la trayectoria determinada con base en el modelo físico-matemático, en los nuevos tiempos Iniciales (to) considerados, en los nuevos valores de longitud considerados, y en los nuevos valores de elevación considerados, satisface las condiciones Iniciales de frontera y las condiciones finales de frontera con la tolerancia preestablecida.

10. El método de la reivindicación 9, en donde la mayoría de los nuevos tiempos iniciales (to) considerados están concentrados en el nuevo sub rango de tiempo seleccionado, alrededor del tiempo ¡nidal óptimo previamente identificado

(to), en donde la mayoría de los nuevos valores de longitud considerados están concentrados en el nuevo sub rango de longitud seleccionado, alrededor de los valores óptimos de longitud previamente Identificados, y en donde la mayoría de los nuevos valores de elevación considerados están concentrados en el nuevo sub rango de elevación seleccionado, alrededor de los valores óptimos de elevación previamente Identificados.

11. El método de la reivindicación 10, en donde los segundos nuevos tiempos Iniciales (to) considerados están distribuidos, en el nuevo sub rango de tiempo seleccionado, de acuerdo con una cuarta distribución parabólica, en donde los nuevos valores de longitud considerados están distribuidos, en el nuevo sub rango de longitud seleccionado, de acuerdo con una quinta distribución parabólica, y en donde los nuevos valores de elevación considerados están distribuidos, en el nuevo sub rango de elevación seleccionado, de acuerdo con la sexta distribución parabólica.

12. El método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones 2-11, en donde la función aproximada de costo es determinada mediante interpolación de los valores computados de la fundón de costo dada (U).

13. El método de acuerdo con cualquier reivindicación precedente, en donde las cantidades del modelo incluyen una cantidad escalar del modelo (Am) relacionada con el consumo de agente propelente de la nave espacial para la transferencia.

14. El método de la reivindicación 13, en donde el requerimiento dado de la misión espacial es un tiempo mínimo para la transferencia de la nave espacial, y en donde la cantidad escalar del modelo (Am) depende de una derivada de una masa de la nave espacial respecto al tiempo (m).

15. El método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones precedentes, en donde el cuerpo espacial central dado es el Sol, en donde el cuerpo espacial inicial y el cuerpo espacial objetivo son cuerpos espaciales que orbitan al Sol, y en donde la cantidad relacionada con la velocidad angular representa una velocidad angular de una órbita alrededor del Sol y depende de un parámetro de gravitación del Sol (m).

16. El método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones 1-14, en donde el cuerpo espacial central dado es la Tierra, y en donde la cantidad relacionada con la velocidad angular representa una velocidad angular de una órbita alrededor de la Tierra, y depende de un parámetro de gravitación de la Tierra.

17. El método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones precedentes, en donde el requerimiento dado de la misión espacial es un consumo mínimo de agente propelente por la nave espacial para la transferencia.

18. Un programa de software que puede ser cargado en una memoria de un procesador electrónico y que Incluye porciones de código de software para la ejecución, cuando es corrido en el procesador electrónico, con el método de acuerdo a cualquier reivindicación precedente.

19. Un producto de programa de software que Incluye un medio que puede ser leído en un computador, que tiene el programa de software de la reivindicación 18, almacenado allí.

20. Un procesador electrónico configurado para ejecutar el método de acuerdo con cualquiera de las reivindicaciones 1- 17.

21. Una nave espacial que incluye el procesador electrónico de la reivindicación 20.