COLECTOR SOLAR CILINDRO-PARABÓLICO CON RADIACIÓN UNIFORMIZADA.

Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada,

donde la radiación solar es reflejada por un espejo cilíndrico de perfil parabólico, cuya sección recta tiene dos ramas parabólicas, una a continuación de otra, y teniendo la segunda rama, más externa, una distancia focal mayor que la primera o interior, aunque quedando el segundo foco en el mismo eje de simetría que el del foco de la primera parábola, aunque más alejado del ápice (punto extremo) de esta primera parábola, y siendo simétricas cada rama respecto del eje de simetría, y quedando los rayos reflejados agrupados en dos familias, según la rama parabólica, incidiendo la primera directamente en el tubo, y la segunda tras haber sufrido una reflexión adicional en espejos situados más allá del segundo foco, dándose en la invención los procedimientos de cálculo para determinar la ubicación y forma de esos espejos.

Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada.

Sector de la técnica

La invención se encuadra en el campo de la energía solar térmica, particularmente la que utiliza concentración de la radiación originaria para alcanzar alta temperatura en el bien útil, que generalmente se materializa en un fluido calorífero que transporta el calor solar absorbido hasta un ciclo termodinámico. Dentro de este campo se encuadra en los colectores cilindro-parabólicos, que concentran la radiación solar en un eje focal longitudinal en el cual se ubica un tubo absorbedor, por dentro del cual circula el fluido calorífero.

El tubo absorbedor está rodeado de una cubierta, así mismo cilíndrica, de vidrio o material resistente y transparente, que sirve para mantener vacío entre ambos tubos, con objeto de reducir las pérdidas por convección, y para evitar la agresión del aire sobre la pintura o adhesivo de alta absortividad y baja emisividad que recubre el tubo absorbedor.

Antecedentes de la invención

Uno de los procedimientos que hoy día ya se instalan para conseguir altas temperaturas en un fluido calorífero, a partir de la radiación solar térmica, se basa en colectores cilindro-parabólicos que montan, en su eje focal parabólico, un tubo coaxial, o casi coaxial, con dicho eje focal del cilindro parabólico. Tal es el caso de la central solar térmica SEGS de California (www.fplenergy.com/portfolio/contents/segs_viii.shtml) y de varios montajes existentes en la Plataforma Solar de Almería (www.psa.es) así como en centrales en construcción en España (Andasol, www.flagsol.com/andasol) .

Actualmente existen varios Colectores Cilindro-parabólicos (CCP) comercializados, que son los usados en las plantas y plataformas que se están construyendo, y entre los cuales se pueden citar, por ser Marcas Registradas muy recientes, los CCP SKAL-Eurotrough y SENERTRHOUGH.

Para su enfoque al sol, estos colectores han de girar sobre su eje de sujeción, que habitualmente coincide, o casi, con el ápice de la parábola (en cada sección recta) por lo que es una línea paralela al eje focal, situada a una distancia de unos 2 metros según el tamaño de los colectores, que vienen a tener una apertura óptica de unos 6 metros. El tubo absorbedor siempre permanece en la misma posición respecto del espejo parabólico, de modo que una de sus caras mira hacia el espejo, y la otra siempre hacia afuera.

Un problema de estos colectores es que la radiación solar concentrada incide sobre el tubo absorbedor por sólo una parte de su superficie, que en general no llega a cubrir 180º (grados sexagesimales) de los 360º que ocupa el perímetro circunferencial del tubo. Ello hace que la energía depositada por la radiación, por unidad de superficie del tubo, presente grandes variaciones, siendo muy alta en algo menos de la mitad de la superficie, y siendo nula en la cara no iluminada por la radiación (que podríamos denominar cara en sombra) .

Esta enorme asimetría azimutal en la distribución de la deposición de calor en la superficie del tubo, provoca gradientes circunferenciales de temperatura muy elevados, incluso en el caso de tener el material del tubo buena conductividad de calor. Cuando el tubo es de acero, cuya conductividad es moderada e incluso baja dentro del campo de los metales, los gradientes pueden ser muy acusados; y cuanto más acusados sean, mayores serán las tensiones mecánicas, de deformación del tubo, producidas por las diferencias de temperaturas, ante las cuales las diversas partes del tubo tratan de dilatarse a su manera, y no acompasadamente. Estas tensiones pueden llegar a plastificar el material, produciendo deformaciones permanentes y grandes deformaciones por fluencia, las cuales pueden ser catastróficas para la integridad del tubo, que deja el colector inservible de perder su estanqueidad. También es deletérea la deformación del tubo que haga que éste llegue a rozar con la envoltura exterior de cristal, en la cual se produciría un calentamiento y sobrepresión local en la zona de contacto, que acarrearía su rotura.

Para eliminar este peligro de rotura del tubo absorbedor o de su cubierta de vidrio, se han de eliminar las tensiones mecánicas inducidas por los grandes gradientes existentes en el valor de la radiación incidente sobre las dos caras del tubo, la iluminada y la que queda en sombra; lo que exige uniformizar dicho valor de la radiación incidente. Para ello se propone la presente invención, que se basa en un sistema guiado de reflexión múltiple, según se detallará después.

La reflexión múltiple tiene antecedentes, aunque no en el modo guiado de esta invención, ni para el tipo de colectores cilindro-parabólicos al que va dirigida, ni con la innovación de emplear dos ramas parabólicas de distancia focal diferente. Como antecedente remoto cabe citar el documento ES 2 227 197 T3 (traducción de patente europea) “Concentrador solar de doble reflexión” que aunque se aplica, en la primera reflexión, a un espejo parabólico, en la segunda el espejo es plano y se dispone en el plano de simetría del cilindro parabólico, para reenviar los rayos solares hacia la parte exterior de la parábola, donde se ubica el tubo o canal absorbedor. Cuando llega a éste, la radiación está muy colimada, de modo que la cara del canal que da al interior de la parábola recibe mucha radiación, y la que da al exterior no recibe nada, lo que en definitiva provoca el mismo tipo de problemas de tensiones termomecánicas.

Otro antecedente, no inmediato, es el de los dispositivos llamados Fresnel de reflexión, sobre el cual existe en experimentación el proyecto FRESDEMO en la Plataforma Solar de Almería (www.psa.es) que se basa en un conjunto de láminas planas longitudinales, que pueden girar cada una sobre su eje central longitudinal, y reflejan la radiación solar sobre una cavidad en bóveda cilíndrica de sección recta circular, de pared interior altamente reflectiva, estando el tubo absorbedor ubicado en el eje central de esa bóveda. Aunque éste recibe la radiación de manera algo más uniforme que en el caso de los colectores cilindro-parabólicos antedichos, la concentración de radiación que se puede alcanzar es mucho menor que en éstos, y además es menor el rendimiento geométrico de captación, pues la cavidad en bóveda no concentra selectivamente los rayos de la radiación sobre el tubo, sino que tiende a conformar una radiación isótropa, lo que hace que una gran parte de la radiación se escape de la cavidad en bóveda sin incidir sobre el tubo. En el documento ES 2 076 359 T3 (traducción de patente europea) “Disposición de concentrador solar” se intenta reducir el problema de las pérdidas de radiación mediante un confinamiento de ésta entre dos semicilindros de sección circular y distinto tamaño, enfrentados entre sí, ambos con las superficies internas muy reflectivas, estando el tubo absorbedor en el eje central del cilindro más pequeño, e incidiendo la radiación en el primer cilindro (de paredes plásticas transparentes, y en forma de tonel, aunque esta última curvatura no es esencial para la doble reflexión y el confinamiento de la radiación dentro de la cavidad) . En todo caso, al ser la cavidad de sección cilíndrica en ambas caras, no se guía adecuadamente la radiación sobre el tubo, y el nivel que se alcanza de concentración de la radiación no pasa de moderado.

Descripción de la invención

La invención consiste en la configuración de una geometría de tratamiento de la radiación solar en la que la reflexión de los rayos solares iniciales se fracciona en dos familias de trayectorias, impactando la primera de ellas directamente sobre el tubo absorbedor, e impactando la segunda familia también sobre el tubo, pero después de una reflexión adicional, que proyecta los rayos de esta segunda familia sobre la cara opuesta del tubo, respecto de la cara donde impactó la primera familia. Para ello la invención consiste en configurar unos colectores con perfil cilindroparabólico con dos ramas parabólicas, por cada lado, una a continuación de otra, y teniendo la segunda rama, más externa, una distancia focal mayor que la primera o interior, aunque quedando ese segundo foco en el mismo eje de simetría que el del foco de la primera parábola, aunque más alejado del ápice (punto extremo) de ésta. Esto es esencial para evita la interferencia, tipo lente óptica, que produce la cubierta exterior cilíndrica transparente, o tubo de cristal, concéntrico al tubo absorbedor.

La invención se...

1. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada, en el que la radiación solar directa es reflejada por un espejo cilíndrico de perfil parabólico, que concentra los rayos solares sobre su eje focal longitudinal, paralelo al cual y en inmediata vecindad se sitúa un tubo 7 que absorbe la radiación, calentando un fluido que circula por su interior, estando dicho tubo 7 recubierto externamente por otro tubo cilíndrico de material transparente, 32, y estando ambos tubos solidariamente unidos en sus extremos longitudinales de cada módulo, y quedando asentados sobre la estructura general del colector, que soporta el espejo primario parabólico, mediante unos tirantes 21, caracterizado por que se configura con un espejo cilindro-parabólico longitudinal cuya sección recta tiene dos ramas parabólicas, 1, 24, por cada lado, una a continuación de otra, y teniendo la segunda rama, 24, más externa, una distancia focal mayor que la primera o interior, 1, aunque quedando ese segundo foco, 25, en el mismo eje de simetría, 4, que el del foco 3 de la primera parábola, 1, aunque más alejado del ápice 2 (punto extremo) de esta primera parábola, y siendo simétricas cada rama respecto del eje de simetría 4.

2. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada, según reivindicación primera, caracterizado por que la reflexión de los rayos solares iniciales se fracciona en dos familias de trayectorias, según tengan su primera reflexión en la parábola interna 1, lo cual configura la primera familia de rayos, siendo la segunda familia, por cada lado, la que se refleja en la rama parabólica exterior, 24, e impactando la primera familia de rayos directamente sobre el tubo absorbedor 7, e impactando la segunda familia también sobre el tubo, pero después de una reflexión adicional en espejos ubicados más allá del tubo, que proyectan los rayos de esta segunda familia sobre la cara opuesta del tubo, respecto de la cara donde impactó la primera familia; pudiendo ser estos espejos adicionales de posición cis-focal, esto es, anteriores al foco de la segunda rama parabólica, habiendo en este caso un espejo adicional, 33, en la derecha, y otro espejo adicional, 42, en la izquierda, siendo simétricos entre sí respecto del eje 4; o pudiendo ser estos espejos adicionales de posición trans-focal, esto es, situados más allá del foco de la segunda rama parabólica, 25, habiendo en este caso un espejo adicional trans-focal, 54 en la izquierda respecto al eje 4, siendo el espejo que recibe la radiación reflejada por la rama parabólica exterior 24 de la derecha, y habiendo en este caso otro espejo adicional trans-focal 55, simétrico del anterior, en la derecha respecto al eje 4, que recibe la radiación reflejada por la rama parabólica exterior 24 de la izquierda.

3. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada, según reivindicación 2, caracterizado porque los espejos adicionales cis-focales 33 y 42, llevan respectivamente unas lengüetas longitudinales 43 perpendiculares a sus perfiles, uniéndose todo solidariamente a un cuerpo resistente 44 del mismo perfil que el espejo, que a su vez, por la parte superior, lleva unas aletas 45 de refrigeración, hechas, como las lengüetas, de material buen conductor del calor, y uniéndose ambos espejos entre sí, por la parte superior, o por los cuerpos 44 respectivos, mediante una traviesa de arriostramiento lateral, 47; y estando cada uno de los espejos 33 y 42, por su lado, asentado a través de unos tirantes cortos, 46, en la estructura soporte del tubo 7, que se sustenta mediante unos tirantes largos 21 en la estructura de soporte del espejo parabólico primario, habiendo una pareja de tirantes largos, 21, y tirantes cortos, 46, uno por cada lado de cada tipo, en los extremos de cada módulo longitudinal de tubo.

4. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada, según cualquiera de las reivindicaciones anteriores, caracterizado por que por encima del tubo absorbedor 7, por cada lado, y simétricamente entre sí, se ubican sendos espejos adicionales trans-focales, 54 y 55, siendo de perfil parabólico, que llevan unas lengüetas longitudinales 43 perpendiculares a sus perfiles, uniéndose todo solidariamente a unos cuerpos resistentes 44 del mismo perfil que el espejo, que a su vez, por la parte superior, lleva unas aletas 45 de refrigeración, hechas, como las lengüetas 43, de material buen conductor del calor, y uniéndose ambos espejos entre sí, por la parte superior, o por los cuerpos 44 respectivos, mediante una traviesa de arriostramiento transversal, 56; y estando cada uno de los espejos adicionales trans-focales, 54 y 55, por su lado, asentado a través de unos apoyos, 57, en la estructura soporte del tubo 7, que se sustenta mediante unos tirantes largos, 21, en la estructura de soporte del espejo parabólico primario, habiendo una pareja de tirantes largos, 21, y apoyos, 57, uno por cada lado de cada tipo, en los extremos de cada módulo longitudinal de tubo.

5. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada, según cualquiera de las reivindicaciones anteriores, caracterizado por que el tubo absorbedor 7 se sitúa en una posición aguas arriba de la radiación concentrada tras la reflexión inicial, esto es, más cerca del ápice de la parábola que la posición del foco, situando el centro 8 del tubo en una posición que se prescribe a continuación, tomando como origen de coordenadas cartesianas el ápice de la parábola interior, siendo el eje de ordenadas el eje de simetría que va desde el ápice al foco, y siendo el eje de abscisas la recta perpendicular al eje de simetría, en el ápice antedicho; por lo cual la primera parábola se define en función de su parámetro “a” de proporcionalidad entre el valor de la ordenada y el cuadrado de la abscisa, siendo dicho parámetro “a” la cuarta parte del inverso de la distancia desde el ápice 2 al foco 3, o distancia focal; y situando el centro del tubo en el eje de simetría 4, con una ordenada, Y8, que se define a través de la ordenada del foco, Y3, del radio del tubo absorbedor, R, y del ángulo A comprendido entre el eje de simetría 4 y la recta que va desde el foco al extremo derecho de la parábola 1, siendo dicha definición

cumpliéndose además que la semi-anchura, en abscisas, del espejo parabólico 1, identificada por el valor de la abscisa de su punto extremo derecho, X11, es

por lo que el rayo más exterior, por cada lado, de la primera familia de rayos, que es la que se refleja en la primera rama parabólica, o más interior, es tangente a la superficie 9 del tubo 7, en el punto 38, de modo que toda la radiación de rayos reflejados de esa familia, incide directamente sobre el tubo absorbedor 7.

6. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada según la reivindicación 5, caracterizado por que la semi-anchura, en abscisas, de la rama parabólica exterior del primer espejo es proporcional a la semi-anchura, en abscisas, de la rama parabólica interior, según la razón de parámetros T2/T1, siendo el valor de estos parámetros

7. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada según cualquiera de las reivindicaciones 5 o 6, caracterizado por que por encima del tubo absorbedor 7, por cada lado, y simétricamente entre sí, se ubican sendos espejos adicionales cis-focales, 33 y 42, siendo de perfil parabólico, y estando el del lado derecho, 33, definido por la expresión

siendo a su vez la pendiente del espejo adicional cis-focal de la derecha, 33,

y siendo los coeficientes C2, C1 y C0 unos valores tales que expresan correctamente la relación geométrica que hay entre los elementos de la invención, obteniéndose sus valores según las prescripciones siguientes, basadas en las coordenadas de los puntos que se indican, y las rectas cuyas ecuaciones y pendientes se dan a continuación, identificándose los puntos por un número, y sus coordenadas por ese número precedido de X en el caso de la abscisa, e Y para la ordenada, e identificándose también las rectas por un número, y las pendientes por la letra S seguida de ese número, y siendo los elementos geométricos siguientes los relevantes:

X34 es la abscisa del punto más interior del espejo adicional cis-focal de la derecha 33, siendo este punto, 34, en el que impacta el rayo más interior de la segunda familia de rayos, que como rayo va por la recta 30;

Y34 es la ordenada del punto 34;

Y’34 es la pendiente del espejo adicional cis-focal de la derecha 33 en el punto 34;

X39 es la abscisa del punto más exterior del espejo adicional cis-focal de la derecha 33, siendo este punto, 39, en el que impacta el rayo más interior de la segunda familia de rayos, que como rayo va por la recta 31;

Y39 es la ordenada del punto 39;

Y’39 es la pendiente del espejo adicional cis-focal de la derecha 33 en el punto 39

X26 es la abscisa del punto más interior, 26, de la rama parabólica exterior 24 del espejo primario, siendo el punto del que parte el rayo más interior de la segunda familia de rayos, que como rayo va por la recta 30;

Y26 es la ordenada del punto 26;

X27 es la abscisa del punto más exterior, 27, de la rama parabólica exterior 24 del espejo primario, siendo el punto del que parte el rayo más interior de la segunda familia de rayos, que como rayo va por la recta 31;

Y27 es la ordenada del punto 27; X36 es la abscisa del punto, 36, de mayor ordenada en la superficie 9 del tubo 7, siendo el punto en el que impacta

el rayo más interior de la segunda familia de rayos, una vez reflejado en el espejo adicional cis-focal de la derecha 33; Y36 es la ordenada del punto 36; X38 es la abscisa del punto, 38, de la superficie 9 del tubo 7 en el que es tangente el rayo más exterior de la primera

familia de rayos, que va desde el punto de abscisa X11 en la parábola 1 al foco 3; Y38 es la ordenada del punto 38; siendo la ecuación de la recta 30 la siguiente:

que es tangente, por la derecha, a la cubierta cilíndrica de vidrio, que envuelve al tubo absorbedor, y siendo su pendiente, S30,

siendo el valor de esta pendiente igual a la de la recta 10, que parte del foco de la parábola primaria interior, Y3, y es tangente, por la derecha, al tubo absorbedor, y siendo la recta 31 de ecuación

y su pendiente, S31

y teniendo la recta del rayo 35, que va del punto 34 al 36, por ecuación

cuya pendiente es S35,

por lo que la pendiente del espejo en el punto 34 tiene el valor

y sabiéndose conocidos los puntos 26, 27 y 36 por las especificaciones del colector, se fija el punto 34 sobre la recta 30 por tener su ordenada 1 centímetro más alto que el punto de más alta ordenada de la cubierta transparente cilíndrica 32, coaxial con el tubo 7;

procediéndose a efectuar un barrido del dominio del valor de la ordenada Y39, efectuando una variación de Y39 que se indexa con el índice n, de tal forma que para cada caso n del barrido de cálculo, el valor de la ordenada a usar es Y39n y corresponde a

pues el espejo plano horizontal es la menor curvatura que cabe aceptar, que es el menor valor de Y39, que es en este caso igual a Y34, y de hecho el espejo reflejaría con excesiva dispersión el rayo 31, y dicho espejo plano es el caso n=1 de esta serie;

y disponiéndose así mismo de la ecuación de la recta 31, dada en la ecuación 27, que particularizada para Y39n proporciona el valor de X39n, que se expresa sub-indexado, como el propio valor de Y39,

de manera que para cada caso n existen 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, C2, C1 y C0, estando estas incógnitas así como X39 e Y39 indexadas a n, como se indica a continuación con las ecuaciones:

y la solución del sistema anterior, para cada caso n, da

con lo que se conoce también el valor de Y’39n

y se calcula la trayectoria del rayo reflejado desde ese punto del espejo, 39, donde incide el rayo que va por la recta 31, de manera que la bisectriz del ángulo de reflexión en 39 es perpendicular a la pendiente Y’39, por lo que su pendiente es -Y’39−1, con lo que la pendiente del rayo reflejado, S40, corresponde a:

moviéndose el rayo reflejado a lo largo de la recta 40n, de ecuación

y definiéndose como abscisa X4038n la que resulta de aplicar a la ecuación de la recta 40n el valor de Y38, por lo

que

y a partir de ella se calcula una figura de mérito o precisión, FMn del caso n, como

comenzando el barrido con espejo plano horizontal (ordenada constante) , y por ser el rayo que va por la recta 31 más inclinado que el rayo de la recta 30, el valor de FM1 es negativo (caso del espejo plano) y a medida que se aumenta n, que es aumentar Y39n, FMn irá creciendo, llegando un valor de n en el cual, al pasar a (n+1) el valor de FM pasa de negativo a positivo;

siendo el espejo adicional cis-focal de la derecha, 33, el que corresponde precisamente al valor de Y39, que estando entre Y39n e Y39n+1 , hace, por interpolación lineal, nulo el valor de FM, entre FMn que es negativo, y FMn+1, que es positivo;

quedando definidos con este valor de Y39, que anula el valor de FM, los valores definitivos de C2, C1, y C0, mediante las ecuaciones (50) , (51) , y (52) , lo cual define inequívocamente la ubicación del espejo adicional cis-focal de la derecha 33, y por ende de su simétrico, espejo adicional cis-focal de la izquierda, 42.

8. Colector solar cilindro-parabólico con radiación uniformizada según cualquiera de las reivindicaciones5a7, caracterizado por que por encima del tubo absorbedor 7, por cada lado, y simétricamente entre sí, se ubican sendos espejos adicionales trans-focales, 54 y 55, siendo de perfil parabólico, y estando el del lado izquierdo, 54, definido por la expresión

siendo a su vez la pendiente del espejo adicional trans-focal izquierdo, 54,

y siendo los coeficientes G2, G1 y G0 unos valores tales que expresan correctamente la relación geométrica que hay entre los elementos de la invención, obteniéndose sus valores según las prescripciones siguientes, basadas en las coordenadas de los puntos que se indican, y las rectas cuyas ecuaciones y pendientes se dan a continuación:

siendo X50 la abscisa del punto más interior, 50, del espejo adicional trans-focal izquierdo 54, siendo el punto 50 en el que impacta el rayo más interior de la segunda familia de rayos, que como rayo va por la recta 30;

siendo Y50 la ordenada del punto 50;

y siendo Y’50 la pendiente del espejo adicional trans-focal izquierdo 54 en el punto 50;

siendo X51 la abscisa del punto más exterior, 51, del espejo adicional trans-focal izquierdo 54, siendo el punto 51 en el que impacta el rayo más interior de la segunda familia de rayos, que como rayo va por la recta 31;

siendo Y51 la ordenada del punto 51;

y siendo Y’51 la pendiente del espejo adicional trans-focal izquierdo 54 en el punto 51;

siendo X48 la abscisa del punto, 48, de la superficie 9 del tubo 7, siendo este punto 48 el simétrico al punto 38, siendo el punto 38 en el que es tangente el rayo más exterior de la primera familia de rayos, que va desde el punto de abscisa X11 en la parábola 1 al foco 3;

Y48 es la ordenada del punto 48;

teniendo la recta del rayo 52, que va del punto 50 al 36, por ecuación cuya pendiente es S52

y conociéndose los puntos 26, 27 y 36 por las especificaciones del colector que se usa como base, el punto 50 se fija sobre la recta 30 por tener su ordenada por encima de la ordenada del foco 25, de tal forma que esa distancia en ordenadas sea entre una y tres veces la distancia en ordenadas desde el foco 25 al punto 36 de máxima ordenada en la superficie 9 del tubo 7;

teniendo la pendiente del espejo adicional trans-focal izquierdo 54 en el punto 50 el valor

procediéndose a efectuar un barrido del dominio del valor de la ordenada Y51, efectuando una variación de Y51 que se indexa con el índice n, de tal forma que para cada caso n del barrido de cálculo, el valor de la ordenada a usar es Y51n y corresponde a

pues el espejo plano horizontal, de ordenada constante, es un límite que puede emplearse para comenzar el barrido, aunque refleja con excesiva dispersión el rayo que va por la recta 31, y dicho espejo plano es el caso n=1 de esta serie;

y disponiéndose así mismo de la ecuación de la recta 31, que es la ecuación 27, que particularizada para Y51n proporciona el valor de X51n, que se expresa sub-indexado, como el propio valor de Y51,

existiendo, para cada caso n, 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, G2, G1 y G0, y estando estas incógnitas así como X51 e Y51 indexadas a n, como se indica a continuación, con las siguientes ecuaciones:

siendo la solución del sistema anterior, para cada caso n,

conociendo también el valor de Y’51n

calculándose la trayectoria del rayo reflejado desde ese punto del espejo, 51, donde incide el rayo que va por la recta 31, sabiendo que la bisectriz del ángulo de reflexión en 51 es perpendicular a la pendiente Y’51, por lo que su pendiente es -Y’51−1, con lo que la pendiente del rayo reflejado, S53, corresponde a

para cada caso n, por lo que el rayo reflejado en cada caso se mueve en la recta 53n, de ecuación

y definiéndose como abscisa X5348n la que resulta de aplicar a la ecuación de la recta 53n el valor de Y48, por lo

que

por lo que a partir de ella se calcula una figura de mérito o precisión, FPn del caso n, como

comenzando el barrido con espejo plano horizontal, de ordenada constante, y por ser el rayo que va por la recta 31 más inclinado que el rayo que va por la recta 30, el valor de FP1 es negativo, que es el caso del espejo plano, y a medida que se aumenta n, que es disminuir Y51n, FPn irá creciendo, llegando un valor de n en el cual, al pasar a (n+1) el valor de FP pasa de negativo a positivo;

siendo el espejo adicional trans-focal izquierdo 54 el que corresponde precisamente al valor de Y51, que estando entre Y51n e Y51n+1 , hace, por interpolación lineal, nulo el valor de FP, entre FPn que es negativo, y FPn+1, que es positivo;

quedando definidos con este valor de Y51, que anula el valor de FP, los valores definitivos de G2, G1, y G0, mediante aplicación de las ecuaciones (68) , (69) y (70) , lo cual define inequívocamente la ubicación del espejo adicional trans-focal izquierdo 54, y por ende de su simétrico, el espejo adicional trans-focal derecho, 55.